Claude가 임계선 위 제타 영점의 증명된 비율을 67.2%로 끌어올렸다

8월 10일, Anthropic이 저자가 대규모 언어 모델인 연구 노트를 공개했다. 결과는 이렇다: 리만 제타 함수의 비자명한 영점 중 적어도 67.2%가 임계선 Re(s) = 1/2 위에 있다. 무조건적으로. 기존의 증명된 기록은 41.6%(5/12)였다. Levinson 방법의 수십 년간의 개선을 견뎌 온 숫자다.

Claude는 리만 가설을 증명하지 않았다. 논문 스스로 그렇게 말한다. 두 번이나. Claude가 한 일은 — 여기서 속도를 늦출 가치가 있다 — 조건부 67%를 무조건 67%로 바꾼 것이다. 방법은 진짜로 새롭다: 영점 밀도 추정도, 영점 없는 영역도, 몰리파이어도 없다. 산술적 입력은 Montgomery가 대역폭 ≤ 1에서 페어 상관 2차 모멘트를 소수 쪽에서 평가한 결과 그 자체인데, 이것은 1973년부터 무조건적이었다. RH가 필요했던 모든 것은 유한 행렬 위의 선형대수로 대체됐다.

이 숫자가 무게 있는 이유

리만 가설은 모든 비자명한 영점의 실수부가 정확히 1/2이라고 주장한다. 1859년부터 증명되지 않았고, 100만 달러 현상금이 걸린 Clay 밀레니엄 문제다. 부분적 결과는 모두 선 위에 있는 영점의 비율에 대한 하한이며, 그 계보를 전부 적을 가치가 있다:

Hardy(1914): 선 위에 무한히 많은 영점.
Selberg(1942): 양의 비율.
Levinson(1974): 몰리파이어 방법으로 적어도 1/3.
Conrey(1989): 2/5, Levinson을 개량.
Bui–Conrey–Young, Feng, Pratt–Robles–Zaharescu–Zeindler: 5/12, 이번 주까지의 기록.

이 목록의 모든 숫자는 같은 기법 계열 — Levinson 방법과 그 후손들 — 에서 나왔다. 새로운 2/3는 그렇지 않다. Montgomery의 페어 상관 아이디어 계열에서 나왔는데, 이는 이전에는 RH를 가정할 때만 쓸 수 있었다. 이것은 증가가 아니라 구조적 단절이다: 이 강도에서 ’RH 조건부 페어 상관의 결과’가 RH 자체와 분리된 것은 처음이다.

2/3라는 숫자에도 역사가 있다. Montgomery는 1973년, RH 아래에서 영점의 적어도 2/3가 단순하다는 것을 보였다(나중에 Goldston 등이 67.9%로 날카롭게 개선). 여기서 2/3는 같은 상수인데 이제 무조건적이다 — 단, 선 위의 영점에 대해, Montgomery의 의미의 ’단순함’이 아니라 서로 다른 영점으로 셀 때다. 이 구분은 중요하다: N₀*는 임계선 위의 서로 다른 영점을 세므로, 중복도는 불리하게 작용하지 않는다. 논문은 또한 모든 영점의 적어도 5/6가 서로 다르다는 것도 증명한다. 같은 기계에서 나온다.

구조적 포인트가 두 개 더 있다. 첫째, 정리는 오차 o(1)를 가진 이진 구간 [T, 2T]에 관한 것이고, T→∞의 liminf는 적어도 2/3다. 논문은 유한한 T에서 비율이 극한보다 아래에 머문다고 보고한다. 수렴이 느리기 때문이다(그들의 Remark 5.9). 둘째, 방법은 2/3에서 멈추지 않는다: 최적의 Montgomery–Taylor 창으로 상수는 0.67250…이 되고, 이는 정확히 RH 조건부 Montgomery–Taylor 상수다. 2/3는 깔끔한 진술이고, 방법은 공짜로 조금 더 할 수 있다.

다른 엔진

여기서 결과는 기록에서 기법으로 바뀐다. Weil의 명시 공식은 테스트 함수에 대한 양정치성 진술을 영점에 대한 진술로 바꾼다: 대응하는 2차 범함수가 양의 반정치인 것과 RH가 참인 것은 동치다. 이 동치는 힘이자 함정이다 — ’양정치성으로 RH를 증명’하려는 모든 순진한 경로는 여기서 죽는다. Claude의 코디네이터 에이전트는, 그 전의 천 에이전트 세션에서 제안된 모든 경로의 첫 실질적 단계가 Weil 양정치성 또는 그 변장임이 드러났다고 보고한다.

요령은 무한 차원 형태 전체에 대해 묻는 것을 멈추는 것이다. Claude는 페어링을 유한 차원 테스트 함수 공간 — 변조된 창들로 만든 ‘Gabor 시스템’, d ≈ λN(T,2T)개 — 으로 제한하고, 그 결과인 유한 실대칭 행렬을 분석한다. 그러면:

임계선 위의 영점은 양의 반정치 랭크-1 블록에 기여한다;
선 밖의 영점은 함수 방정식 아래에서 {ρ, 1−ρ̄} 쌍을 이루며 부정 (1,1) 블록에 기여한다 — Kreĭn 공간의 시그니처지, 힐베르트 공간의 것이 아니다;
Sylvester의 관성 법칙이 전체 형태의 시그니처를 제한한다;
von Neumann의 트레이스 부등식으로 증명된 랭크–트레이스 부등식이 시그니처를 계산 가능한 트레이스 모멘트와 연결한다;
트레이스 자체는 X = (T/2π)^λ까지의 소수에서 Montgomery–Vaughan으로 무조건적으로 평가된다.

영점 쪽과 소수 쪽은 샘플링 커널을 앨리어싱 없이 정확히 주는 Poisson 합산 항등식으로 맞춰진다. 수치적으로 두 쪽은 작은 높이에서 10⁻⁸까지 일치한다. 가장 중요한 단계는 개념적이다: 고전적으로는 영점 쪽을 실수 세로좌표 위의 양의 합으로 읽기 위해 RH가 필요했다. 여기서는 선 밖 쌍의 부정성이 선형대수에 흡수된다 — 영점이 선에서 얼마나 벗어났는지 알 필요가 없고, 그 (1,1) 블록이 랭크에서 유계라는 것만 알면 된다. 음의 지표는 증명되지 않은 가설로 없애는 대신 관성 정리로 처리된다.

이것이 Bombieri의 2000년 논문 ’소수론에서 Weil의 이차 범함수에 관한 고찰 I’이 옳은 조상으로 인용되는 이유이기도 하다: 그는 Weil 형태의 유한 절단을 연구했고, RH가 유한한 개수의 나쁜 영점에서 실패한다면 충분히 큰 절단의 음의 고유값 개수가 나쁜 영점 개수의 절반과 같다는 것을 보였다. 유한 압축의 시그니처는 RH가 어떻게 실패하는지 부호화한다. Claude의 기여는, 어떤 선 밖 영점이 존재하는지 결코 해결하지 않고 그 시그니처에서 선 위 영점의 개수를 뽑아낼 수 있음을 보인 것이다.

그것이 말하지 않는 것, 그리고 천장은 어디인가

논문은 한계에 대해 이례적으로 명시적이다. 이런 종류의 증명서는 0.68185를 넘을 수 없다 — 대역폭 λ ≤ 1의 1차/2차 모멘트 정보에는 단단한 천장이 있고, λ ≤ 1은 논증의 본질이다(그 너머는 무조건적인 소수 쪽이 주지 않는 정보가 필요하다). 0.70/0.80/0.90에 도달하려면 페어 상관 지지를 대략 1.04/1.26/1.70까지 넓혀야 한다. 즉 더 영리한 선형대수가 아니라 진짜 새로운 산술 입력이 필요하다.

그래서 정직한 읽기는 이렇다: 이것은 RH를 증명하는 방향의 한 걸음이 아니고, 저자들도 그렇게 주장하지 않는다. 더 오래되고 논쟁의 여지 없이 더 다루기 쉬운 프로젝트 — ‘RH의 결과를 무조건적으로 만들기’ 프로그램, Bombieri 등이 짧은 구간의 소수에 대해 해온 것의 정신 — 을 향한 한 걸음이다. 그리고 페어 상관 기계는 RH에서 벗어나면, 이 특정 과제에서 몰리파이어 기계보다 강하다는 것을 보여준다.

그 뒤에 있던 54시간 세션

부록이 더 재미있는 읽을거리고, 컬러 스토리가 아니라 워크플로 논문으로 읽어야 한다. 코디네이터 에이전트가 하루 반 동안 약 60개의 격리된 서브에이전트를 돌렸다: 셸 명령 2,400개, 수백 개의 Python 스크립트, 출력 토큰 3,100만. 코디네이터는 거의 수학을 하지 않았다. 그 역할은 방향, 분류, 검증이었다.

핵심 아이디어는 두 서브에이전트가 만들어 냈다. E2는 음의 지표 경로가 비어 있음을 — 정직한 유한 음의 지표는 항등적으로 0임을 — 증명하고, 아이디어를 뒤집어 소수 쪽 트레이스에서 양의 지표의 하한을 이끌어내, 영점의 적어도 절반이 선 위에 있다고 주장했다. E2-pairs는 91분 동안 생각했고, 자신의 브리핑과 모순되는 수치 실험을 돌렸고, 1/2을 2/3로 올린 랭크–트레이스 보조정리를 썼다. 쓰고 나서 4분 뒤, 인프라 장애가 실행을 문장 중간에 죽였다. 코디네이터는 죽은 에이전트의 디렉터리를 읽고, 그 결과를 ’오늘 밤 일어난 일 중 가장 중요한 것’으로 알아봤고, 다섯 줄짜리 증명을 줄 단위로 확인한 뒤, 체크리스트와 함께 같은 에이전트를 재개했다.

이 작동 방식에서 몇 가지가 눈에 띈다. 코디네이터 자신의 창의적 예측 두 개는 모두 틀렸다 — 1/2 단계에서는 메커니즘을 잘못된 방향으로 가리켰고, 2/3 단계에서는 잘못된 회복 레버를 줬다 — 반면 그 레퍼리 구조는 버텼다. 서브에이전트는 의도적으로 격리됐다: 서로의 대화도 서로도 볼 수 없었다. 덕분에 오류들이 독립적으로 유지됐고, 적대적 리뷰가 의미를 가질 수 있었다. 인간의 기여는 몇 개의 한 줄짜리 프롬프트뿐이었다: ‘작업 재개해’, ‘2/3까지 밀어 올려’, ‘계속해’. Claude는 처음에 스스로를 과소평가했다. 지속은 외부에서 왔다.

검증 프로토콜이 진짜 발견이다

여기서 결과는 정수론 너머로 의미를 가진다. AI 수학의 신뢰 문제는 ’모델이 증명을 찾을 수 있는가’가 아니다 — ’누가 그것을 믿어야 하는가’다. 이 파이프라인은 그 질문에 답하는 템플릿이다:

블라인드 적대적 레퍼리 에이전트: 각자 서로 겹치지 않는 갭과 공격 계획을 배정받고, 서로를 읽는 것이 금지됐다. 그들은 진짜 오류를 하나 찾았다 — 질량 행렬에 대한 잘못된 전제 — 그리고 논문에 최종 반영된 수정안을 제안했다. 적대적 루프가 환각을 잡아냈다. 그건 시스템이 작동한다는 증거다.
블라인드 재유도 에이전트: 증명을 읽지 않고 결과를 증명했고, RH가 실패하는 것으로 알려진 대조 케이스도 돌렸다. 둘 다 저렴한 재현 가능성의 형태다.
문헌 에이전트: 새로움을 확인하기 위해 arXiv 논문 54편을 다운로드했다 — 코디네이터는 자신의 기억을 믿기를 명시적으로 거부했다.
Lean 4 / Mathlib 형식화: 정리 A–E, sorry 없음, 세 가지 표준 공리(propext, Classical.choice, Quot.sound)에만 의존. Weil의 명시 공식, Riemann–von Mangoldt 영점 계수, Stirling 추정, Chebyshev–Mertens, Montgomery–Vaughan이 모두 포함된다 — 헤드라인 정리뿐 아니라 해석적 비계도 형식화됐다.
인간 전문가: Anthropic 사내 수학자 Levent Alpöge와 Ralph Furman이 검증했고, 외부 전문가 Brian Conrey와 Dan Goldston이 짧은 통보로 검토했다.

코디네이터 자신의 헤지가 가장 교훈적이다. ‘나는 영점의 절반이 선 위에 있다고 말하는 게 아니다. 그 결론을 가진 논증을 에이전트가 만들어 냈다고 말하는 것이다.’ ‘결과에는 인간 전문가가 필요하다.’ 최종본의 평결: ‘다음 독자는 사람이어야 한다.’

그것은 올바른 분업이고, 이름을 붙일 가치가 있다: 생성과 실행은 병렬화된다. 검증은 층을 이루고 적대적이다. 형식화가 지반이고, 판단은 사람에게 남는다. 레퍼리들이 잡아낸 오류가 바로 이 파이프라인이 존재하는 이유다 — 모델이 그럴듯한 증명을 만들어 내는 경우가 정확히 무비판적인 독자가 화상을 입는 경우이기 때문이다.

정직한 주의 사항

이것은 쓰여진 같은 주에 공개된 프리프린트 수준의 연구 산출물이다. 전문가 노트 자체도 전개되지 않은 오차항(O(T^δ log T)와 O(T^{1/2−2δ}) 꼬리는 스케치만 있고 완전히 상세화되지 않았다)을 짚고 있다. Lean 형식화는 정적인 연구 산출물이지, 유지보수되는 라이브러리가 아니다. 그리고 세션 수준의 행동들 — 예측을 두 번 틀린 코디네이터, 인프라 크래시가 있어야만 눈에 띈 에이전트 — 은 아직 재현 가능한 프로세스가 아니다. 이 워크플로가 작동할 때 무엇을 만들 수 있는지에 대한 데이터 포인트다.

수학은 대부분의 프리프린트보다 더 철저하게 검증됐다: 기계 검증된 Lean 증명, 적대적 레퍼리 루프, 두 명의 독립적인 전문가 읽기. 최종 판단은 여전히 커뮤니티의 몫이고, 그것이 맞다. 그러나 이 물건의 형태 — AI가 생성하고, 형식적으로 검증되고, 전문가가 검토하고, 방법이 Bombieri와 Montgomery의 조상에 정직하게 위치 지어진 정리 — 는 새롭다. 67.2%라는 숫자는 이 발표에서 가장 덜 놀라운 부분이다.

Claude가 임계선 위 제타 영점의 증명된 비율을 67.2%로 끌어올렸다 — 숫자보다 중요한 건 방법이다

이 숫자가 무게 있는 이유

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그것이 말하지 않는 것, 그리고 천장은 어디인가

그 뒤에 있던 54시간 세션

검증 프로토콜이 진짜 발견이다

정직한 주의 사항

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